Da hätten wir doch fast einen sehr wichtigen Teil vergessen – WolframAlpha kann natürlich auch eine Menge zu Integralen beitragen – deswegen hier einmal die wichtigsten Befehle zu Stammfunktionen, uneigentlichen Integralen, Flächenberechnung oder auch zu Integraltransformationen, Integrale mit Parametern und und und…..
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Stammfunktionen/unbestimmte IntegraleWenn alles immer nur so schön einfach wäre – mit dem Befehl integrate … dx wird die Stammfunktion ausgespuckt (mit Integrationskonstante!) Der Ordnung halber solltet ihr immer noch Variable, nach der integrieren wollt mit angeben:
Beispiel 1: integrate x^2 dx
Beispiel 2 (Achtung, nach y integriert): integrate y^3 x^2 dy
Beispiel 3 (mit Parameter n): integrate x^n*(ln(x)) dx
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Bestimmte IntegraleUm von unbestimmten zu bestimmten Integralen zu kommen, müssen wir lediglich noch unsere Integrationsgrenzen hinzufügen – wir schreiben dahinter from … to …
Beispiel 1: integrate x^2 dx from 0 to 6
Beispiel 2 : integrate 3sin(x) dx from -pi to 2pi
Beispiel 3 (mit Parameter in den Grenzen): integrate 1/x^2 dx from 1 to a
Beim letzten Beispiel sieht die Ergebnisausgabe etwas komplizierter aus – im Endeffekt sollen die weiteren Angaben nur sicherstellen, dass unser Parameter a eine positive Zahl größer 1 ist.
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Uneigentliche IntegraleUneigentliche Integrale sind ja ganz besondere bestimmte Integrale – entweder mit ± Unendlich oder einer Stelle, wo unsere Funktion nicht definiert ist. Das schöne an WolframAlpha – sie behandelt das Ganze automatisch und erkennt, wenn du ihr ein uneigentliches Integral vorsetzt.
Beispiel 1: integrate 1/x dx from 1 to infinity oder integrate 1/x^2 dx from 1 to infinity
Beispiel 2 : integrate e^(-2x) dx from 1 to infinity
Beispiel 3 (kritische Stelle bei x=0) : integrate ln(x) dx from 0 to 2
Sogar bei versteckten kritischen Stellen, die nicht sofort ersichtlich sind, erhält man ein solides Ergebnis:
Beispiel 4 (kritische Stelle bei x=2) : integrate 1/(x-2)^3 dx from -2 to 4
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FlächenberechnungWill man nun nicht nur das Integral, sondern zum Beispiel die Fläche zwischen 2 Funktionen berechnen, so benutzt man die Befehle: area between … and …. Wenn die beiden Funktionen eine Fläche einschließen, bekommen wir auch ein Ergebnis:
Beispiel 1 (hier klappt es): area between y=x and y=x^2
Beispiel 2 (hier klappt es nicht): area between y=-e^x and y=-x^2
Um so einen Fall wie in Beispiel 2 zu vermeiden, kann man zusätzlich den Integrationsbereich noch einschränken:
Beispiel 3: area between y=-e^x and y=-x^2 from 0 to 3
Wer nun die Fläche zwischen einer Funktion und der x-Achse suchen soll, kann ebenfalls diesen Syntax wählen – eine gewählte Funktion ist dann lediglich y=0:
Beispiel 4: area between y=0 and cos(x) from -2pi to pi/2
Beispiel 5: area between y=0 and x^3-4x^2+5x-3 from 1 to 5
- Integraltransformationen
Vor allem Maschinenbauer und Ingenieure können ein Lied davon singen – Integraltransformationen sind manchmal zum Zähne ausbeißen. Entweder man hat eine große Übersicht, wo wichtige Umwandlungen drin stehen oder man lässt sie sich direkt berechnen:
Beispiel 1 : Fourier Transformation: Fourier transform e^(-x^2)
Beispiel 2 : Laplace Transformation: Laplace transform x^3
Eine komplette Übersicht der verfügbaren Transformationen findest du auf dieser Seite.
- Partialbruchzerlegung
Bei der Berechnung der Stammfunktion von gebrochenrationalen Funktionen benötigt man die Technik der Partialbruchzerlegung – kein Problem für WolframAlpha und dem Befehl partial fractions …
Beispiel : partial fractions (x-2)/(x^2-1)
Mit diesen Grundbefehlen lassen sich schon einmal eine Menge von Problemen lösen – ob nun Berechnen des Volumens eines Rotationskörpers (nach dieser Formel) oder auch Doppelintegralen. (In diesem Beispiel haben wir mal die Fläche eines Rechteckes mit den Seitenlängen 2 und 3 nachgerechnet.)
Wenn ihr einen Aufgabentyp gefunden habt, den WolframAlpha nicht behandeln kann oder wenn ihr noch Ergänzungen habt – ab damit in die Kommentare. Wir freuen uns auf euer Feedback.
