Nachdem wir gelernt haben, wie wir Funktionen eingeben können (Tutorial 1), wollen wir nun zeigen, wie man mit Hilfe von WolframAlpha eine komplette Kurvendiskussion durchführen kann. Dabei stellen wir hier zuerst die Befehle vor und zeigen an kleinen Beispielen, wie das dann jeweils aussieht.
Eigenschaften
- Definitionsbereich
Mit dem Wort domain wird dir der Definitionsbereich einer gegebenen Funktion angezeigt:
Beispiel: domain abs(-x^2)/(x^2-1)
- Wertebereich
Analog funktioniert das mit dem Wertebereich (im Englischen range)
Beispiel: range (abs(-x^2))/(x^2-1)
- Nullstellen, Schnittpunkte, spezielle Punkte
Für Nullstellen setzt man die Funktion einfach null – es werden die reellen und komplexen Lösungen angezeigt:
Beispiel: 0=x^4-3x^2-4
Um spezielle Funktionswerte auszurechnen (z.B. Schnittpunkt mit der y-Achse) kann man einfach den gewünschten x-Wert hinter die Funktion schreiben:
Beispiel: x^4-3x^2-4, x=0 oder z.B. e^(x^2-4)/x^3, x=ln(e/2)
- Grenzwerte
Grenzwerte gegen Plus oder Minus Unendlich sind kein Problem:
Beispiel: limes x to infinity 1/(x+2)-1
Aber auch gegen kritische Stellen (Polstellen, Unstetigkeitesstellen) berechnet die Maschine uns stillschweigend:
Definitionslücke: limes x to 0 sin(x)/x oder Polstellen: limes x to 1 (x^2-9)/(x-1)^2
- Stetigkeit
Oftmals wird gefragt, ob eine Funktion stetig ist bzw. welche Unstetigkeitsstellen sie besitzt. Auch hier gibt es einen nützlichen Befehl, der eigentlich auch sehr naheliegt: Is … continuous?
Beispiel 1: is f(x)=1/x continuous?
Beispiel 2: is f(x)=Piecewise[{{x/Pi, 0...
Beispiel 3: is f(x)=sin(x)/x continuous?
Beispiel 4: is f(x)=(ax-2)^4/e^-x continuous?
Dabei wird auch die Art der Unstetigkeitsstellen angegeben. Da das auf Englisch passiert, hier mal die passenden Übersetzungen dazu:
- Polstelle : infinite discontinuity
- hebbare Definitionslücke : removable discontinuity
- Sprungstelle : jump discontinuity
- Ableitungen, Extrema, globale Extrema
Ableitungen werden wie folgt berechnet:
differentiate (x-2)^7e^(4+x^9)
Auch höhere Ableitungen kann man sich ausgeben lassen:
differentiate second (x-2)^7e^(4+x^9) mit second, third, fourth, usw.
Für globale Maxima/Minima bietet uns WolframAlpha ein besonderes Schmankerl:
maximize x^3-2x+6 oder minimize x(1+x)e^x
Sofern lokale Extrema existieren, werden diese dort auch mit angezeigt.
Zusätzlich kann man nun noch ein Intervall angeben, in dem nach den Extrema gesucht werden soll
minimize (x-2)^2 - 3,
1<=x<=5
- Extrem- und Wendestellen
Neben dem Weg über die "maximize/minimize" Funktion füur die lokalen Extrema, funktioniert auch der klassische Weg. Letztlich sind diese Stellen ja nur bestimmte Werte der entsprechenden Ableitungen. Was du also f"ur Extremstellen machen kannst, ist:
(differentiate x^5-3x^2+3 )=0
Das gibt dir die Extremstellen unter dem Abschnitt "real solutions". Die kannst du jetzt in die zweite Ableitung einsetzen, um zu sehen, welche Art das Extrema hat.
differentiate second x^5-3x^2+3 , x=0
differentiate second x^5-3x^2+3 , x=\sqrt[3]{6/5}
Genauso gehst du für Wendestellen vor. Zuerst die Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen:
(differentiate second x^5-3x^2+3)=0
Und dann unter "real solutions" die Wendestellen ablesen und zur Überprüfung in die dritte Ableitung einsetzen:
differentiate third x^5-3x^2+3, x=\sqrt[3]{3/10}
- Integration
Berechnen der Stammfunktion - wichtig ist, dass du mit dx hinten angibst, bezüglich welcher Variable du integrieren willst. Hier kann prinzipiell alles stehen, also auch du, dz, usw.
integrate x^2+e^(-x) dx
Möchtest du ein bestimmtes Integral ausrechnen, musst du die Grenzen noch mit abgeben:
integrate from 2 to 10 (x^2+e^(-x)) dx
Hier ist es wichtig, darauf zu achten, dass du die zu integrierende Funktion in Klammern (...) schreibst!
- Zeichen von Funktionen
Zuletzt das Zeichnen von Funktionen. Oftmals spuckt WolframAlpha schon eine Grafik mit aus, willst du aber explizit darauf hinaus, geschieht das mit dem Kommando plot:
plot e^(sin(x))/x^2
oder mit gegebenen Definitionsbereich am Ende:
plot e^(sin(x))/x^2,
8 ≤ x ≤ 20
Du kannst damit auch die Bereiche zeichnen, in denen die Funktion bestimmte Werte annimmt, also z.Bsp. negativ ist:
plot x^4-3x^2-3x+2
Mit diesen Befehlen kann man nun eine ziemlich komplette Kurvendiskussion durchführen und vor allem seine selbst gerechneten Ergebnisse schnell vergleichen.
Hast du ein Problem, was du mit den oben genannten Befehlen nicht bearbeiten kannst? Oder gibt es eine sinnvolle Funktionalität, die wir vergessen haben? Dann ab damit in die Kommentare!
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