Tutorial 7: WolframAlpha – Wahrheitstabellen

Eine Sache mit der man vermutlich im Studium das erste Mal in Kontakt kommt ist die Aussagenlogik. Neben den ganzen neuartigen Symbolen ist wohl das Ausfüllen der Wahrheitstabellen mit am lästigsten…doch auch hier gibt es kleine Helfer im Netz.

Zum Überprüfen der Wahrheitstabellen – wie sollte es anders sein – hat auch WolframAlpha ein paar Funktionen in der Hinterhand. Wir wollen diese zunächst für die einfachen Verknüpfungen von zwei Aussagen vorstellen. Nachdem wir darauf eingehen, wie das dann für mehrere Aussagen aussieht bzw. wie man zeigt, dasss Aussagen äquivalent sind, wollen wir uns noch ein Tool ansehen, was dir beliebige Übungen zum Thema Wahrheitstabellen zusammenstellt – sollten die Übungen zur Vorlesung mal nicht ausreichen :)

  • Verknüpfung zweier Aussagen
    Hat man zwei Aussagen gegeben – nennen wir sie mal p und q – dann gibt es folgende Verknüpfungen:

    • „p und q“ : p ∧ q Diese Aussage wird nur wahr, wenn p und q beides wahre Aussagen sind.
    • „p oder q“ : p ∨ q Solange mindestens eine der beiden Aussagen wahr ist, ist auch die verknüpfte Aussage wahr. (also auch, wenn beide wahr sind)
    • „entweder p oder q“ : p ⊻ q Beim sogenannten „exklusiv-oder“ ist die Aussage nur dann wahr wenn die Wahrheitswerte der Aussagen unterschiedlich sind. (d.h. nur eine der beiden Aussagen darf jeweils wahr sein)
    • „wenn p dann q“ : p ⇒ q Diese Aussage ist wahr, wenn beide Aussagen wahr sind, oder wenn p eine falsche Aussage ist. Alternativ kann man auch formulieren: „Aus p folgt q“ oder „p impliziert q“.
    • „p genau dann wenn q“ : p⇔ q Hier müssen beide Aussagen denselben Wahrheitswert annehmen, damit eine wahre Aussage entsteht, daher auch die Formulierung „p und q sind äquivalent“.

    Soweit die Theorie. In WolframAlpha bekommt man die entsprechenden Wahrheitstabellen, indem man das englische Pendant „truth table“ eingibt und dahinter Folgendes schreibt:

    p ∧ q : truth table p and q
    p ∨ q : truth table p or q
    p ⊻ q : truth table p xor q

    Der Befehl xor lehnt sich hier an die Bezeichnung „Exklusiv-Oder“ an (engl. gesprochen: x-(clusive) or). Genauso werden auch die Befehle für „aus p folgt q“ gebildet, denn mit der Übersetzung von „p impliziert q“ folgt:

     p ⇒ q : truth table p implies q

    Für die „genau dann wenn“ Verknüpfung gibt es gleich zwei Befehle die man sich einprägen kann. Entweder man merkt sich, dass man hier äquivalente Aussagen hat (engl. equivalent), oder man kennt die Abkürzung iff für „if and only if“, also die Übersetzung für „genau dann wenn“:

    p ⇔ q : truth table p iff q bzw. truth table p equivalent q

    Mit diesen Verknüpfungen kann man sich schon mal die grundlegenden Wahrheitstabellen zusammenschustern, aber es geht natürlich auch etwas komplizierter…

  • Mehrere Aussagen
    Einfache Verknüpfungen von zwei Aussagen sind ja schön und gut. Gerade in den Übungen wird man wohl schnell mit komplizierteren und vor allem mehreren Aussagen konfrontiert. Doch auch derartige Verkomplizierungen stellt uns WolframAlpha als Wahrheitstabelle dar. Hier ein paar Beispiele:

    (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p): truth table (p implies q) and (q implies p)
    (p ∧ q) ∨ (p ⊻ q): truth table (p and q) or (p xor q)

    Oft braucht man noch das Gegenteil einer Aussage, die sogenannte „Negation“. In WolframAlpha packt man dazu ein einfaches not vor die Aussage bzw. die Verknüpfungen:

    ¬((p ∧ q) ∨ (p ⊻ q)): truth table not ((p and q) or (p xor q))
    ((p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ ¬q)): truth table (p implies q) and ((not p) implies (not q) )

    Wichtig ist hier, die Klammern richtig zu setzen bzw. ruhig nochmal den Ausdruck im Abschnitt Input Interpretation zu überprüfen, bevor man sich fragt, warum die eigenen Ergebnisse nicht mit denen von WolframAlpha übereinstimmen. Das gilt gerade, wenn man noch mehrere Aussagen hinzufügt. Wie immer spielt die Wahl der Buchstaben dabei keine wirkliche Rolle:

    ((p ∧ q) ∨ (p ∧ m)): truth table (p and q) or (p and m)
    (a ⇒ b) ∧ (b ⇒ c) ∧ (c ⇒ d) ∧ (d ⇒ a): truth table (a implies b) and (b implies c) and (c implies d) and (d implies a)
  • Äquivalente Aussagen
    Hinter den meisten verknüpften Aussagen vom letzten Abschnitt oder den Übungsaufgaben stecken die einfachen Varianten aus dem ersten Abschnitt. Genau um das nachzuweisen stellt man ja Wahrheitstabellen auf. Wenn man nun also beispielsweise zeigen will, dass die Aussagen:

    ((p ∧ q) ∨ (p ⊻ q)) und (p ∨ q) 

    äquivalent sind (also gewissermaßen dasselbe aussagen), dann macht man das über die Wahrheitstabellen. Denn wenn die Aussagen gleichwertig sind, nimmt die Verknüpfung:

    ((p ∧ q) ∨ (p ⊻ q)) ⇔ (p ∨ q)

    nur wahr in der Wahrheitstabelle an. Also geben wir unsere beiden Aussagen in WolframAlpha mit der equivalent Verknüpfung und truth table ein und schauen auf die letzte Spalte:

    ((p ∧ q) ∨ (p ⊻ q)) ⇔ (p ∨ q): truth table ((p and q) or (p xor q)) equivalent (p or q)

    Da in der letzten Spalte nur T (also True) steht, sind beide Aussagen gleichwertig.

    Analog kann man beispielsweise auch nachweisen, dass diese Aussagen äquivalent sind:

    ((p ∧ q) ∨ (p ∧ m)) ⇔ ((p ∧ (q ∨ m)): truth table ((p and q) or (p and m)) equivalent (p and (q or m))
    ((p ∧ q) ∨ (p ⊻ q)) ⇔ (p ∨ q): truth table (not (p and q)) equivalent ((not p) or (not q))
    ((p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ ¬q)) ⇔ (p ⇔ q): truth table ( (p implies q) and ((not p) implies (not q))) equivalent ( p equivalent q)
  • Ein Übungstool
    Letztlich sollte man mit den oben vorgestellten Mitteln in der Lage sein, so ziemlich jede Wahrheitstabelle aus den Übungen/Vorlesungen ausgeben zu lassen. Zur Übung kann man sich auch einfach selbst beliebige Wahrheitstabellen ausdenken und dann lösen.

    Wer dazu zu bequem ist, findet unter www.uni-due.de/~gph120/wahrheitstafeln/ ein Tool, welches automatisch Wahrheitstabellen erzeugt, in denen man die Werte über Klicks selbst eintragen kann. Am Ende kann man die eigene Lösung prüfen (Lösung prüfen) und bekommt rot angezeigt, bei welchen Werten man sich vermacht hat. Ist man nur an der Lösung interessiert gibt es die unter Lösung anzeigen. Auch wenn hier stets nur zwei Aussagen miteinander verknüpft werden, hat man mit 4096 verschiedenen Aufgaben wohl erstmal genug Übungsmaterial.

    Nett ist auch, dass man sich mit dem Button Nur Äußere lösen zunächst die Wahrheitswerte der einzelnen Verknüpfungen anzeigen lassen kann bevor man sich die Komplettlösung ansieht – so kann man sich Schritt für Schritt an die Probleme herantasten.

Falls du noch mehr Quellen im Netz kennst, mit denen man sich das Thema Aussagen und Wahrheitstabellen erschließen kann – immer her damit! Ansonsten erstmal viel Spaß beim Üben.

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Bis jetzt gibt es 3 Kommentare Schreib was dazu

  1. Michael Rothmund

    Hallo,

    zuerst meinen großen Dank für das eingestellte Tutorial.
    Damit konnten die meisten meiner Fragen beantwortet werden. Es ist zudem sehr verständlich geschrieben, sehr gut.

    Ich hätte eine Frage: ist Ihnen bekannt, ob man mit Wolfram Alpha auch eine vollständige Induktion lösen kann, bzw. welchen Eintrag man damit machen müsste? Gibt es dazu eine „Step-by-step“ – Lösung. Wenn ich die Werte bisher eingetragen habe, kam bestenfalls eine „true“.

    Meinen Dank,
    Michael

  2. stephan

    Hallo Michael,

    Eine Schritt für Schritt Lösung bei Induktionen kann WolframAlpha nach unseren Recherchen noch nicht. Was WolframAlpha mit Schritt für Schritt Anleitungen kann, findest du in einer Übersicht hier:

    http://blog.wolframalpha.com/2012/09/26/introducing-expanded-step-by-step-math-solutions/

    allerdings musst du dich für diese Funktionalität neuerdings registrieren.

    Viele Grüße
    stephan

  3. Niklas K

    sehr gut ich bin 12 und habs jetzt geschekt

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