Tutorial 4: WolframAlpha – Summen, Produkte und Reihen

Im direkten Zusammenhang mit Folgen, die wir im letzten Tutorial behandelt hatten, stehen Summen und Reihen, denn hier werden Folgeglieder einfach nur aufaddiert. Was dann als Wert rauskommt, ob die Reihe überhaupt konvergiert oder divergiert, sind häufig gestellte Fragen.

Doch auch hier hat WolframAlpha ein paar Funktionen, die dir das Rechnen mit Summen, Produkten und Reihen leichter machen.

Ebenfalls behandeln wir spezielle Summen und Reihen wie z.B. das Taylorpolynom bzw. die Taylorreihe einer gegebenen Funktion.

Summen

  • Wert berechnen
    Man kann natürlich Werte von Summen bestimmen, indem man die komplette Summe aufschreibt:
    Beispiel 1: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100

    Doch das ist ja nicht wirklich ein Vorteil zum klassischen Taschenrechner. Mit dem Befehl sum können wir das Ganze schon deutlich schneller aufschreiben:

    Beispiel 2: sum_(n=1)^10 n^2

    Diesen Syntax sollte man sich daher genaustens einprägen:

    • sum steht einfach nur für Summe
    • mit _(n=1) gibst du den Laufindex und den Startwert an. Hier heißt unsere Laufvariable n und beginnt bei 1. Wie du die Variable nennst ist vollkommen egal, z.B. gehen auch Angaben wie k=1 oder j=5
    • Mit dem ^10 gibst du das Indexende an – in diesem Fall läuft unsere Variable also von 1 bis 10.

    Das funktioniert genauso mit mehreren Summenausdrücken:

    Beispiel 3: sum_(n=1)^10 n^2-sum_(i=1)^15 (1/i+1) + 4sum_(k=10)^20 k/(2k+1)
  • Allgemeine Summenformeln

    Meist interessiert nicht nur ein spezieller Wert einer Summe, sondern man hat eine Folge – wie etwa k^2 – und möchte wissen, was die Summe der Folgeglieder allgemein ist. Das geht genauso wie bei der Wertberechnung, nur dass du ein n ans Indexende setzt:

    Beispiel 1: 1+4+9+...+n^2
    Beispiel 2: sum_(k=1)^n k^2

    Solche Vorschriften sind insbesondere gut, falls man ein paar Gleichungen braucht, um Induktionsbeweise zu üben. Es funktioniert mit ziemlich vielen Vorschriften ganz gut…

    Beispiel 3: sum_(k=1)^n ke^k

    …wie bei Bildungsvorschriften von Folgen kann es aber auch vorkommen, dass es keine allgemeine Vorschrift gibt bzw. WolframAlpha dir Dinge ausspuckt, von denen du noch nie im Leben gehört hast:

    Beispiel 4: sum_(k=1)^n (\sqrt{k}/2^k)

    Wenn du auf so etwas triffst – bitte nicht einfach in deine Lösung kritzeln – spätestens hier wird der Kontrolleur dann stutzig werden. :)

Produkte

Produkte werden genauso gehandhabt wie Summen, man ersetzt hier lediglich „sum“ durch „prod“ oder „product„.

Fakultät und Binomialkoeffizient

Mit den Produkten könnte man nun zwar ebenso Fakultäten und Binomialkoeffizienten berechnen, doch diesen Schritt nimmt uns WolframAlpha ab und stellt auch für diese beiden Dinge Folgendes zur Verfügung:

  • Fakultät

    Als Schreibweise kannst du entweder knackig das Ausrufezeichen nehmen oder du schreibst „factorial“ (engl. für Fakultät):

    Beispiel 1: factorial(4) bzw. 4!

    Die Fakultät können wir somit in alle möglichen Ausdrücke packen: Folgen, Summen, Reihen (siehe weiter unten) oder Funktionen:

    Beispiel 1: 1/n!
    Beispiel 2: sum_(n=1)^10 1/n!
    Beispiel 3: e^x/x!

    Im letzten Beispiel muss man beachten, dass die Fakultät erstmal nur für natürliche Zahlen definiert ist. Bei Funktionen werden aber in der Regel reelle Werte verwendet, sodass WolframAlpha dann auch bei der Fakultät auf die reelle Variante der Fakultät umsteigt: die Gamma-Funktion.

  • Binomialkoeffizient

    Der Binomialkoeffizient von n über k ist über die Fakultät definiert mit n!/(k!(n-k)!. Anstatt die Fakultäten nun jedes Mal einzutippen hat WolframAlpha hier eine nette Abkürzung – entweder binomical oder noch kürzer: binom

    Beispiel 1: binomial(5,2) ist dasselbe wie 5!/(2!(5-2)!)

    Wie gewohnt kann man hier auch Variablen einsetzen und so den Binomialkoeffizienten in andere Berechnungen/Probleme einbinden, etwa für allgemeine Vorschriften:

    Beispiel 1: binom(2n,n)

    Oder sogar für Gleichungen wie dem binomischen Lehrsatz:

    Beispiel 2: sum_(k=0)^n binom(n,k)a^(n-k)b^k

Reihen

Der Unterschied zwischen Reihen und Summen ist pragmatisch gesprochen ja nur das Unendlich über dem Summenzeichen.

Das kann dazu führen, dass die Reihe keinen (endlichen) Wert besitzt – man sagt sie konvergiert nicht bzw. divergiert. Zwar sind die Schreibweisen und Anwendungsmöglichkeiten von WolframAlpha für Reihen so ziemlich dasselbe wie oben bei Summen beschrieben – Zusätzlich zu den berechneten Werten gibt WolframAlpha aber auch an, welches Kriterium benutzt wurde, um die Konvergenz/Divergenz zu zeigen (unter dem Punkt „Convergence tests“).

  • Konvergenz

    Hier eine Auflistung der wichtigsten Konvergenzkriterien. Eine Bedingung, die jede Reihe erfüllen muss, damit sie überhaupt konvergieren kann, ist, dass die Folge in der Reihe eine Nullfolge ist. GIlt das nicht, so divergiert die Reihe automatisch immer. Dieser Test (auf Divergenz) wird mit „limit test“ angegeben:

    Notwendiges Kriterium: sum_(n=1)^infinity binom(2n,n) 

    Hinter dem „ratio test“ verbirgt sich das Quotientenkriterium. Statt das „unendlich“ im Indexende mit „infinity“ zu schreiben kann man auch mit „infty“ abkürzen:

    Quotientenkriterium: sum_(n=1)^infty n/binom(2n,n)

    Das Wurzelkriterium wird eigentlich recht selten eingesetzt, da es nur wenige Fälle gibt, wo es mehr aussagt als das Quotientenkriterium:

    Wurzelkriterium: sum_(k=1)^infty 2^(-2k+(-1)^k)

    Mit „The ratio test is inconclusive“ ist gemeint, dass das Quotientenkriterium hier keine Aussage machen kann. Beim Majoranten/Minorantenkriterium wird zwar angegeben, dass dieses Kriterium benutzt wurde: „Comparison test“…

    Majorantenkriterium: sum_(k=1)^infty 1/k^2
    Minorantenkriterium: sum_(k=1)^infty 1/sqrt(k)

    …leider wird aber nicht angegeben mit welcher Reihe verglichen wurde. Man kann annehmen, dass der Vergleich oft über das Integralvergleichskriterium angestellt wird, auch wenn immer nur der „comparison test“ angegeben ist und nicht der „Integral test“.

    Als letzter bekannter Vertreter sei noch das Leibnizkriterium genannt, was dem „alternating series test“ entspricht:

    Leibnizkriterium: sum_(k=1)^infty (-1)^k/k

    Natürlich gibt es noch mehr. Falls du weitere Kriterien benötigst, kannst du dir hier mehr davon holen.

  • Wert bestimmen und spezielle Reihen (Taylorpolynome/Reihen)

    Konvergiert die Reihe, so will man meist auch ihren Wert feststellen. Wie du in den Beispielen zur Konvergenz vielleicht schon festgestellt hast, macht WolframAlpha das automatisch und schreibt ihn hinter die Reihe: Ob genau…

    Beispiel 1: sum_(k=0)^infty (-1)^k/k!

    …oder als Näherung („Approximated sum“ oder unter „Decimal approximation“):

    Beispiel 2: sum_(k=1)^infty sqrt(k)/(k^3+1)

    Handelt es sich um eine geometrische Reihe, so wird das natürlich bemerkt und dir im Abschnitt „Convergence tests“ deutlich gemacht („decreasing gemetric series test“). Hier wird auch immer eine Formel der Paritalsummen unter „Partial sum formula“ angegeben:

    Beispiel 3: sum_(k=0)^infty 2^k/3^k

    Für geometrische Reihen mit einem Folgeglied größer als 1 hat man anscheinend den Text zum Konvergenzkriterium noch nicht richtig eingesetzt:

    Beispiel 4: sum_(k=0)^infty 3^k/2^k

    Aber wenigstens steht die Divergenz direkt hinter der Summe. Teleskopreihen erkennt WolframAlpha zwar nicht explizit als solche, macht das aber im Punkt „Partial sum formula“ (Partialsumme) deutlich…

    Beispiel 5: sum_(k=1)^infty (1/k-1/(k+1))

    …auch wenn man selbst die Form der Teleskopreihe erstmal nicht sofort sieht:

    Beispiel 5: sum_(k=1)^infty (1/(k(k+1)))

    Taylorpolynome/Taylorreihen

    Zuletzt noch ein Befehl, den man wohl eher mit Ableitungen in Verbindung bringt: Die Entwicklung vom Taylorpolynom bzw. der Taylorreihe. Um das Polynom mit höchster Potenz/Ordnung 4 („to order 4“) um den Entwicklungspunkt 0 („at 0“) der Funktion f(x)=sin(x+pi) zu bestimmen schreibt man Folgendes:

    Beispiel 6: series sin(x+pi) at x=0 to order 4

    Ist man an der kompletten Reihenentwicklung interessiert, lässt man die Ordnung einfach weg und schaut unter „series representations“:

    Beispiel 7: series sin(x+pi) at x=0

Diese Befehle sollten einem erstmal ganz gut über die Runden helfen, wenn es darum geht Aufgaben zu Summen, Produkten und Reihen/Taylorreihen zu bearbeiten und zu überprüfen.

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Bis jetzt gibt es 8 Kommentare Schreib was dazu

  1. Michael Rothmund

    Hallo,
    ich wollte Sie fragen, ob Sie mir bezüglich einer Eingabe helfen können?
    In diesem Fall geht es um Differenzialgleichungen, genauer gesagt die Eingabe der Indizes. Z.B. fuer “ omega 0″.
    Das konkrete Beispiel ist die Schwingungsgleichung:
    x“ + 2*mu*x‘ + (omega_0)^2* x = a*cos(omega*t)

    Besten Dank,
    Michael

    • stephan

      Hey Michael,

      das Problem ist, dass WolframAlpha das omega_0 nicht kennt. Nennst du es nur omega, so wird er dort eine ganz bestimmte Funktion verwenden. Unser Tipp: Nenn dein omega_0 einfach „b“ oder sonstwie, dann kann er auch damit arbeiten:

      x“+2*mu*x’+b^2*x=a*cos(omega*t)

      Viele Grüße
      stephan

  2. Roland

    Hallo,
    ich sitzte an vier Aufgaben die ich nicht lösen kann.
    Ich hoffe das mir hier jemand helfen kann.

    Die Aufgaben lauten:

    15[(Σ60+Σ48+Σ104)mod61]Meter

    und

    16[(Σ42+Σ117+Σ59)mpd62]Meter

    und

    2Σ68+3Σ62

    und

    3Σ68+25

    Vielen Dank im voraus.
    Roland

    • stephan

      Hallo Roland,

      ich denke das ist möglich, allerdings verstehe ich deine Summenschreibweise nicht, dafür fehlen ja die Indexe, also von wo bis wo sie laufen an der Summe.

      Wenn du das genau spezifizieren kannst, können wir dir bestimmt helfen.

      Viele Grüße
      stephan

  3. Roland

    Hallo Stefan,

    Leider habe ich nur diese Aufgabenstellung.

    Weitere Angaben habe ich nicht.

    Evtl. gibt es einen Ansatz?

    Vielen Dank

    Roland

    • stephan

      Also wenn die Aufgabenstellung so aussieht, würde ich sagen: So ist es nicht eindeutig. :) Eventuell kannst du das Aufgabenblatt ja mal einscannen, aber so kann ich erstmal nichts für dich tun.
      Viele Grüße
      stephan

  4. gerri

    hi. ich würde gerne die konvergenz der folge (1-a_n)^n –>0 für n–>oo nachweisen, wobei n*a_n–>0 für n–>oo. bin mir nicht so ganz sicher wie ich das geschickt nachweisen kann.

    • stephan

      Hallo Gerri,

      ich glaub da überforderst du WolframAlpha etwas. Sobald du etwas für a_n einsetzt sollte es kein Problem sein, aber so muss man da mathematisch ran gehen.
      Du könntest z.B. so argumentieren: Da a_n*n gegen 0 geht, ist a_n auf jeden Fall von der Form 1/n^alpha mit alpha > 2. (Oder etwas noch stärkeres, eventuell 1/e^n) usw. Dann kannst du z.B. das sogenannte Sandwichkriterium verwenden, indem du mit der e-Folge aebeitest. Wie das genau geht findest du unter anderem:

      http://www.massmatics.de/merkzettel/182/
      http://www.massmatics.de/merkzettel/169/

      Viel Glück! :)
      stephan

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