Tutorial 1: WolframAlpha – Funktionen

Im ersten Teil unserer Beitragsreihe zu WolframAlpha gehen wir erstmal ein paar einfache Eingaben von Funktionen und Sonderzeichen ein.

Wie gibt man Sachen ein?

Wie bei anderen Suchmaschinen gibt es in der Mitte einfach ein breites Eingabefeld, wo du alle möglichen Dinge eingeben kannst. Tippst du beispielsweise „5*8+2“ ein, so erhälst du das Ergebnis dieser Rechnung: 42

Wie du siehst, wird dir nicht nur das Ergebnis selbst angezeigt, sondern gleich noch ein paar mehr Informationen. (Obwohl Dinge wie „Number-name: forty-two“ einen jetzt nicht so vom Hocker hauen)

Grundrechenarten

Prinzipiell kann man so alle möglichen Rechnungen eingeben. Man braucht dazu einfach nur die Zeichen +, -, *, ^ und / um die Grundrechenarten auszuführen:

  • Addition/Subtraktion: „-3+4-2“
  • Multiplikation: „2*3“ (Bei Variablen kann das Mal-Zeichen auch weggelassen werden: „2x“)
  • Division: „3/4“
  • Potenzen: „2^4“

Bei allem solltest du um sicher zu gehen lieber immer noch ein paar Klammern durmpacken, denn beispielsweise ist der Ausdruck „2/3x“ nicht etwa „(2/3)*x“, sondern „2/(3*x)“.

Aufpassen bei Kommazahlen!

WolframAlpha ist nur der englischen Sprache mächtig, von daher müssen Dezimalzahlen mit Punkt geschrieben werden: 0,5 ist also 0.5. Darüber hinaus gibt es noch ein paar Sonderzeichen für mathematische Konstanten, wie

  • pi“ falls du mal vergessen hast, wie die 13. Nachkommastelle der Kreiszahl lautet
  • e“ für die Eulersche Zahl
  • i“ als imaginäre Zahl, wenn du mit komplexen Zahlen rechnen willst. Also solltest du bei deinen Variablen auf die Eingabe von diesem Buchstaben lieber verzichten.

Mit diesen Kombinationen kann man nun schon eine Menge von Funktionen eingeben und sich ihre Eigenschaften anschauen. (einfach anklicken, wenn du nicht weißt, welche Funktion gemeint ist)

Übersicht Funktionen

Betragsfunktionen

abs(x) oder kompliziertere Varianten: abs(x+abs(x-2))

Ganzrationale Funktionen, insbesondere Wurzelfunktionen

x^2
x^5-2x*(x-3)
sqrt(x) bzw. x^(1/2) oder x^(0.5)
\sqrt[3]{x} bzw. x^(1/3)
(x^5)^(1/9) kann man auch so schreiben \sqrt[9]{x^5}

Gebrochenrationale Funktionen

(x^2-4x)/(2x^5+4) ist dasselbe wie \frac{x^2-4x}{2x^5+4}
2x-1/x+3x^(-4)

Exponentialfunktionen

e^(x^2) kann man auch so abfragen: exp(x^2)
a^x bzw. mit bekannter Basis a: 2^x
(1/2)^x = (0.5)^x = (\frac{1}{2})^x stehen alle für diesselbe Funktion

Logarithmusfunktionen

ln(x) ist dasselbe wie log(x) oder log_e(x)
lg(x) gibt den Logarithmus zur Basis 10
Mit dem Unterstrich bekommst du den Logarithmus zu jeder beliebigen Basis: log_2(x)

Trigonometrische Funktionen

sin(x), cos(x), tan(x) und cot(x)

sind genauso im Repertoire,wie die inversen Funktionen dazu:

arcsin(x), arccos(x), arctan(x) bzw. arccot(x)

Auch die zugehörigen Hyperbelfunktionen gibt’s:

sinh(x),cosh(x), tanh(x) und coth(x)

Es gibt natürlich noch Unmengen weiterer Funktionen, aber wer andere Funktionen braucht, kann es auch einfach mal mit ähnlichen Abkürzungen wie oben probieren – Wolfram Alpha ist da wirklich intelligent.

Zusammengesetzte Funktionen

Zusammengesetzte oder stückweise definierte Funktionen können ebenfalls eingegeben werden, allerdings ist der Code dafür etwas aufwendiger:

Beispiel 1: f(x)=Piecewise[{{x^2-3, 0 <= x < 3}, {2x, 3 <= x < infinity}}]
Beispiel 2: f(x)=Piecewise[{{x+1, -4 <= x < 3}, {-0.5x+2, 3 <= x < 7}}]

Zuerst schreiben wir Piecewise (stückweise)

f(x)=Piecewise[{}]

in die geschweiften Klammern schreiben wir nun, ebenfalls wieder in geschweiften Klammern die Teilfunktion und deren Definitionsbereich:

f(x)=Piecewise[{{x^2-3, 0 <= x < 3}}]

Nach dieser Definition kommt ein Komma, und danach die nächste Teilfunktion:

f(x)=Piecewise[{{x^2-3, 0 <= x < 3},{2x, 3 <= x < infinity}}]

und das wiederholt sich immer weiter, bis ihr eure Funktion zusammengebastelt habt.

Was bekommt man alles angezeigt?

Nachdem du deine Eingabe gemacht hast, bekommst du gleich eine Menge an Informationen mitgeliefert.

Denn wie du beim Anklicken vielleicht bemerkt hast stehen unter der Funktion Sachen wie Funktionsplot, Nullstellen, Minimum/Maximum usw.

Hier listen wir die Wichtigsten mal auf. Dabei werden dir natürlich nicht immer alle Sachen angezeigt, sondern meist nur die wesentlichen Dinge, die auch vorhanden sind:

  • Input: Hier kannst du nochmal checken, ob WolframAlpha deine Eingabe auch richtig verstanden hat
  • Plots: In den Funktionsskizzen nicht von den orangen Linien irritieren lassen, denn die stehen für komplexe Funktionswerte - wenn du davon noch nie etwas gehört hast ignorier sie einfach
  • Geometric figure: Hier wird dir angegeben, wenn es sich bei deiner Eingabe um eine Parabel, Hyperbel oder andere geometrische Formen, wie Kreis oder Ebene handelt
  • Alternate form: Hier wird dein Input noch umgeformt. Das ist insbesondere hilfreich, wenn du überprüfen willst, ob "(x^3-4)^3" wirklich "x^9-12x^6+48x^3-64" ist. Hier gilt ebenfalls: Nur das ansehen, wo nichts mit „complex“ steht, denn da zieht WolframAlpha wieder komplexe Zahlen mit in Betracht.
  • Real root: Hier werden die (reellen) Nullstellen der Funktion angezeigt.
  • Properties as a real function: Alle wesentlichen Eigenschaften wie Definitionsbereich (domain), Wertebereich (range) oder Periodizität (periodicity) werden dir hier angezeigt
  • Derivative: Die erste Ableitung der Funktion gibt es auch immer mit dazu
  • Indefinite Integral: Genauso wie die Stammfunktion
  • Limit: Auch den Grenzwert für x gegen plus und minus unendlich gibt es, sofern hier etwas Interessantes anzuzeigen ist
  • Global Minimum/global Maximum: Falls es einen kleinsten bzw. größten Funktionswert gibt, wird er hier angegeben
  • Definite Integral: Das Integral zwischen den Nullstellen wird manchmal auch angezeigt (dazu braucht es natürlich erstmal ein paar Nullstellen)
  • Series Representation: Hier wird (wenn möglich) die Taylorreihe berechnet
  • Series Expansion: Auch das Taylorpolynom um den Entwicklungspunkt null wird bestimmt

Das sind die meisten, aber noch nicht alle Eigenschaften die zu gegebenen Funktionen aufgelistet werden. Wie du gezielt dann noch mehr Eigenschaften bekommst um z.B. eine Kurvendiskussion zu machen, wird im zweiten WolframAlpha Tutorial beschrieben.

 

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